一元二次方程初三数学单元试题附答案详解(2)
【专题】压轴题.
【分析】根据日历上数字规律得出，圈出的9个数，最大数与最小数的差为16，以及利用最大数与最小数的积为192，求出两数，再利用上下对应数字关系得出其他数即可.
【解答】解：根据图象可以得出，圈出的9个数，最大数与最小数的差为16，设最小数为：x，则最大数为x+16，根据题意得出：
x(x+16)=192，
解得：x1=8，x2=﹣24，(不合题意舍去)，
故最小的三个数为：8，9，10，
下面一行的数字分别比上面三个数大7，即为：15，16，17，
第3行三个数，比上一行三个数分别大7，即为：22，23，24，
故这9个数的和为：8+9+10+15+16+17+22+23+24=144.
故选：D.
【点评】此题主要考查了数字变化规律以及一元二次方程的解法，根据已知得出最大数与最小数的差为16是解题关键.
二、填空题
11.一元二次方程x2﹣3=0的根为 x1= ，x2=﹣ .
【考点】解一元二次方程-直接开平方法.
【分析】直接解方程得出答案，注意用直接开平方法.
【解答】解：x2﹣3=0，
x2=3，
x= ，
x1= ，x2=﹣ .
故答案为：x1= ，x2=﹣ .
【点评】此题主要考查了直接开平方法解方程，题目比较典型，是中考中的热点问题.
12.如果(x2+y2)(x2+y2﹣2)=3，则x2+y2的值是 3 .
【考点】换元法解一元二次方程.
【专题】换元法.
【分析】先设x2+y2=t，则方程即可变形为t(t﹣2)=3，解方程即可求得t即x2+y2的值.
【解答】解：设x2+y2=t(t≥0).则原方程可化为：
t(t﹣2)=3，即(t﹣3)(t+1)=0，
∴t﹣3=0或t+1=0，
解得t=3，或t=﹣1(不合题意，舍去);
故答案是：3.
【点评】本题考查了换元法﹣﹣解一元二次方程.解答该题时需注意条件：x2+y2=t且t≥0.
13.已知x1，x2是一元二次方程x2+6x+3=0两个实数根，则 的值为 10 .
【考点】根与系数的关系.
【分析】根据 = = = ，
根据一元二次方程根与系数的关系可得：两根之积与两根之和的值，代入上式计算即可.
【解答】解：∵x1、x2是方程x2+6x+3=0的两个实数根，
∴x1+x2=﹣6，
x1•x2=3.
又∵ =
=
= ，
将x1+x2=﹣6，x1•x2=3代入上式得
原式= =10.
故填空答案为10.
【点评】将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法.
14.已知x1，x2是方程x2﹣2x﹣1=0的两个根，则 + 等于 ﹣2 .
【考点】根与系数的关系.
【专题】计算题.
【分析】根据一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与系数的关系得到x1+x2=2，x1•x2=1，然后变形 + 得 ，再把x1+x2=2，x1•x2=﹣1整体代入计算即可.
【解答】解：∵x1，x2是方程x2﹣2x﹣1=0的两个根，
∴x1+x2=2，x1•x2=﹣1，
∴ + = =﹣2.
故答案为﹣2.
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与系数的关系：若方程的两根为x1，x2，则x1+x2=﹣ ，x1•x2= .也考查了一元二次方程的根的判别式.
15.若x1，x2是方程3x2﹣|x|﹣4=0的两根，则 = .
【考点】根与系数的关系.
【分析】首先假设x>0或x<0分别讨论，再利用所求根代入得出即可.
【解答】解：当x>0，
则3x2﹣|x|﹣4=0，可变形为：3x2﹣x﹣4=0，
解得：x1= ，x2=﹣1(不合题意舍去)，
当x<0，
则3x2﹣|x|﹣4=0，可变形为：3x2+x﹣4=0，
解得：x1=﹣ ，x2=1(不合题意舍去)，
则 = ，
故答案为： .
【点评】此题主要考查了绝对值的性质以及一元二次方程的解法，根据已知利用分类讨论得出是解题关键.
16.为解决群众看病难的问题，一种药品连续两次降价，每盒的价格由原来的60元降至48.6元，则平均每次降价的百分率为 10 %.
【考点】一元二次方程的应用.
【专题】增长率问题.
【分析】降低后的价格=降低前的价格×(1﹣降低率)，如果设平均每次降价的百分率是x，则第一次降低后的价格是60(1﹣x)，那么第二次后的价格是60(1﹣x)2，即可列出方程求解.
【解答】解：设平均每次降价的百分率为x，依题意列方程：60(1﹣x)2=48.6，
解方程得x1=0.1=10%，x2=1.9(舍去).
故平均每次降价的百分率为10%.
【点评】本题比较简单，考查的是一元二次方程在实际生活中的运用，属较简单题目.
三、解答题(共52分)
17.解下列方程：
(1)2x2﹣4x﹣5=0.
(2)x2﹣4x+1=0.
(3)(y﹣1)2+2y(1﹣y)=0.
【考点】解一元二次方程-因式分解法;解一元二次方程-配方法;解一元二次方程-公式法.
【专题】计算题.
【分析】(1)先计算判别式的值，然后利用求根公式法解方程;
(2)先利用配方法得到(x﹣2)2=3，然后利用直接开平方法解方程;
(3)先变形得到(y﹣1)2﹣2y(y﹣1)=0，然后利用因式分解法解方程.
【解答】解：(1)△=(﹣4)2﹣4×2×(﹣5)=56，
x= = ，
所以x1= ，x2= ;
(2)x2﹣4x+4=3，
(x﹣2)2=3，
x﹣2=± ，
所以x1=2+ ，x2=2﹣ ;
(3)(y﹣1)2﹣2y(y﹣1)=0，
(y﹣1)(y﹣1﹣2y)=0，
y﹣1=0或y﹣1﹣2y=0，
所以y1=1，y2=﹣1.
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了(数学转化思想).也考查了配方法和公式法解一元二次方程.
18.试说明不论x，y取何值，代数式x2+y2+6x﹣4y+15的值总是正数.
【考点】配方法的应用;非负数的性质：偶次方.
【分析】此题考查了配方法求最值，此题可化为2个完全平方式与一个常数的和的形式.
【解答】解：将原式配方得，
(x﹣2)2+(y+3)2+2，
∵它的值总不小于2;
∴代数式x2+y2+6x﹣4y+15的值总是正数.
【点评】此题考查了配方法的应用，解题的关键是认真审题，准确配方.
19.已知实数，满足a2+a﹣2=0，求 的值.
【考点】分式的化简求值;解一元二次方程-因式分解法.
【专题】计算题.
【分析】先解关于a的一元二次方程，求出a的值，并把所给的分式化简，然后把a的值代入化简后的式子计算就可以了.
【解答】解：原式=
=
= ，
∵a2+a﹣2=0，
∴a1=1，a2=﹣2，
∵a1=1时，分母=0，
∴a1=1(舍去)，
当a2=﹣2，原式= =2.
【点评】这是关于分式化简求值的问题，注意解出a的值必须保证分式有意义，才能代入计算.
20.在实数范围内定义一种新运算“△”，其规则为：a△b=a2﹣b2，根据这个规则：
(1)求4△3的值;
(2)求(x+2)△5=0中x的值.
【考点】解一元二次方程-直接开平方法.
【专题】新定义.
【分析】(1)根据规则为：a△b=a2﹣b2，代入相应数据可得答案;
(2)根据公式可得(x+2)△5=(x+2)2﹣52=0，再利用直接开平方法解一元二次方程即可.
【解答】解：(1)4△3=42﹣32=16﹣9=7;
(2)由题意得(x+2)△5=(x+2)2﹣52=0，
(x+2)2=25，
两边直接开平方得：x+2=±5，
x+2=5，x+2=﹣5，
解得：x1=3，x2=﹣7.
【点评】此题主要考查了直接开平方法解一元二次方程，解这类问题要移项，把所含未知数的项移到等号的左边，把常数项移项等号的右边，化成x2=a(a≥0)的形式，利用数的开方直接求解.
21.已知关于x的方程2x2﹣mx﹣2m+1=0的两根x1，x2，且x12+x22= ，试求m的值.
【考点】根与系数的关系.
【分析】首先根据一元二次方程根与系数得到两根之和和两根之积，然后把x12+x22转换为(x1+x2)2﹣2x1x2，然后利用前面的等式即可得到关于m的方程，解方程即可求出结果.
【解答】解：∵x1、x2是一元二次方程2x2﹣mx﹣2m+1=0的两个实数根，
∴x1+x2= m，x1x2= (﹣2m+1)，
∵x12+x22=(x1+x2)2﹣2x1x2= ，
∴ m2﹣2× (﹣2m+1)= ，
解得：m1=3，m2=﹣11，
又∵方程x2﹣mx+2m﹣1=0有两个实数根，
∴△=m2﹣4×2×(﹣2m+1)≥0，
∴当m=﹣11时，
△=﹣73<0，舍去;
故符合条件的m的值为m=3.
【点评】此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法.通过变形可以得到关于待定系数的方程解决问题.
22.如图所示，在长和宽分别是a、b的矩形纸片的四个角都剪去一个边长为x的正方形.
(1)用a，b，x表示纸片剩余部分的面积;
(2)当a=6，b=4，且剪去部分的面积等于剩余部分的面积时，求正方形的边长.
【考点】一元二次方程的应用.
【专题】几何图形问题.
【分析】(1)边长为x的正方形面积为x2，矩形面积减去4个小正方形的面积即可.
(2)依据剪去部分的面积等于剩余部分的面积，列方程求出x的值即可.
【解答】解：(1)ab﹣4x2;
(2)依题意有：ab﹣4x2=4x2，
将a=6，b=4，代入上式，得x2=3，
解得x1= ，x2=﹣ (舍去).
即正方形的边长为
【点评】本题是利用方程解答几何问题，充分体现了方程的应用性.
依据等量关系“剪去部分的面积等于剩余部分的面积”，建立方程求解.
23.某水果批发商场销售一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下.若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克.
(1)现该商场要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元?
(2)每千克水果涨价多少元时，商场每天获得的利润最大?获得的最大利润是多少元?
【考点】二次函数的应用;一元二次方程的应用.
【分析】(1)关键是根据题意列出一元二次方程，然后求出其解，最后根据题意确定其值.
(2)根据题意列出二次函数解析式，然后转化为顶点式，最后求其最值.
【解答】解：(1)设每千克应涨价x元，由题意，得
(10+x)(500﹣20x)=6000，
整理，得 x2﹣15x+50=0，
解得：x=5或x=10，
∴为了使顾客得到实惠，所以x=5.
(2)设涨价x元时总利润为y，由题意，得
y=10+x)(500﹣20x)
y=﹣20x2+300x+5 000
y=﹣20(x﹣7.5)2+6125
∴当x=7.5时，y取得最大值，最大值为6125元.
答：(1)要保证每天盈利6000元，同时又使顾客得到实惠，那么每千克应涨价5元;
(2)若该商场单纯从经济角度看，每千克这种水果涨价7.5元，能使商场获利最多为6125元.
【点评】考查了二次函数的应用，求二次函数的最大(小)值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法，常用的是后两种方法，当二次系数a的绝对值是较小的整数时，用配方法较好，如y=﹣x2﹣2x+5，y=3x2﹣6x+1等用配方法求解比较简单.
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