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高中数学平面向量的数量积练习题及答案

时间: 思晴2 数学备考

  高中数学平面向量的数量积练习题一、填空题

  1.(2014·泰州质检)在ABC中,若AB=1,AC=,|+|=||,则=________.

  [解析] 由平行四边形法则,|+|=||=||,故A,B,C构成直角三角形的三个顶点,且A为直角,从而四边形ABDC是矩形.

  由||=2,ABC=60°,

  ==.

  [答案]

  2.(2013·湖南高考改编)已知a,b是单位向量,a·b=0.若向量c满足|c-a-b|=1,则|c|的最大值为________.

  [解析] a,b是单位向量,|a|=|b|=1.

  又a·b=0,a⊥b,|a+b|=.

  |c-a-b|2=c2-2c·(a+b)+2a·b+a2+b2=1.

  c2-2c·(a+b)+1=0.2c·(a+b)=c2+1.

  c2+1=2|c||a+b|cos θ(θ是c与a+b的夹角).

  c2+1=2|c|cos θ≤2|c|.c2-2|c|+1≤0.

  -1≤|c|≤+1.|c|的最大值为+1.

  [答案] +1

  高中数学平面向量的数量积练习题二、解答题

  3.设两向量e1,e2满足|e1|=2,|e2|=1,e1,e2的夹角为60°,若向量2te1+7e2与向量e1+te2的夹角为钝角,求实数t的取值范围.

  [解] 由已知得e=4,e=1,e1·e2=2×1×cos 60°=1.

  (2te1+7e2)·(e1+te2)=2te+(2t2+7)e1·e2+7te=2t2+15t+7.

  欲使夹角为钝角,需2t2+15t+7<0,得-7

  设2te1+7e2=λ(e1+te2)(λ<0),

  ∴2t2=7.t=-,此时λ=-.

  即t=-时,向量2te1+7e2与e1+te2的夹角为π.

  当两向量夹角为钝角时,t的取值范围是.

  平面向量应用举例专项测试题

  一、填空题

  1.(2013·课标全国卷)已知正方形ABCD的边长为2,E为CD的中点,则·=________.

  [解析] 如图,以A为坐标原点,AB所在的直线为x轴,AD所在的直线为y轴,建立平面直角坐标系,则A(0,0),B(2,0),D(0,2),E(1,2),

  ∴=(1,2),=(-2,2),

  ·=1×(-2)+2×2=2.

  [答案] 2

  2.已知向量=(3,-4),=(6,-3),=(m,m+1),若,则实数m的值为________.

  [解析] 依题意得,=(3,1),

  由,

  得3(m+1)-m=0,m=-.

  [答案] -

  3.(2014·徐州调研)已知a=(1,2),2a-b=(3,1),则a·b=________.

  [解析] a=(1,2),2a-b=(3,1),

  b=2a-(3,1)=2(1,2)-(3,1)=(-1,3).

  a·b=(1,2)·(-1,3)=-1+2×3=5.

  [答案] 5

  4.(2013·常州市高三教学期末调研测试)在平面直角坐标系xOy中,圆C:x2+y2=4分别交x轴正半轴及y轴正半轴于M,N两点,点P为圆C上任意一点,则·的最大值为________.

  [解析] 根据题意得:M(2,0),N(0,2).设P(2cos θ,2sin θ),

  则=(2-2cos θ,-2sin θ),=(-2cos θ,2-2sin θ),

  所以·=-4cos θ+4cos2θ-4sin θ+4sin2θ

  =4-4(sin θ+cos θ)=4-4sin,

  因为-1≤sin≤1,所以4-4≤·≤4+4,

  所以·的最大值为4+4.

  [答案] 4+4

  5.(2014·宿迁调研)已知点A(-2,0),B(0,0),动点P(x,y)满足·=x2,则点P的轨迹方程是________.

  [解析] =(-2-x,-y),=(-x,-y),则

  ·=(-2-x)(-x)+(-y)2=x2,

  y2=-2x.

  [答案] y2=-2x

  6.(2014·常州质检)已知直线x+y=a与圆x2+y2=4交于A、B两点,且|+|=|-|,其中O为原点,则正实数a的值为________.

  [解析] 由|+|=|-|,知,

  |AB|=2,则得点O到AB的距离d=,

  =,

  解得a=2(a>0).

  [答案] 2

  7.(2014·南京、盐城二模)已知||=1,||=2,AOB=,=+,则与的夹角大小为________.

  [解析] 令=,=,因为||=1,||=2,所以||=||,由=+=+,得四边形OA1CB1为菱形.因为菱形对角线平分所对角,因此AOC=60°.

  [答案] 60°

  8.如图4­4­3,在ABC中,AB=AC,BC=2,=,=.若·=-,则·=________.

  图4­4­3

  [解析] 建立如图所示的直角坐标系,则·=·(1,-a)=-=-,解得a=2,所以=,=(-1,-2),所以·=-.

  [答案] -

  二、解答题

  9.(2014·苏北四市质检)已知向量a=(cos θ,sin θ),b=(2,-1).

  (1)若a⊥b,求的值;

  (2)若|a-b|=2,θ,求sin的值.

  [解] (1)由a⊥b可知,a·b=2cos θ-sin θ=0,所以sin θ=2cos θ,

  所以==.

  (2)由a-b=(cos θ-2,sin θ+1),可得|a-b|===2,

  即1-2cos θ+sin θ=0,

  又cos2θ+sin2θ=1,且θ,

  由可解得

  所以sin=(sin θ+cos θ)

  ==.

  10.已知向量a=(cos x,sin x),b=(sin 2x,1-cos 2x),c=(0,1),x(0,π).

  (1)向量a,b是否共线?并说明理由;

  (2)求函数f(x)=|b|-(a+b)·c的最大值.

  [解] (1)b=(sin 2x,1-cos 2x)=(2sin xcos x,2sin2 x)

  =2sin x(cos x,sin x)=2sin x·a,且|a|=1,即a≠0.

  a与b共线.

  (2)f(x)=|b|-(a+b)·c

  =2sin x-(cos x+sin 2x,1-cos 2x+sin x)·(0,1)

  =2sin x-1+cos 2x-sin x=sin x-1+1-2sin2x

  =-2sin2x+sin x=-22+.

  当sin x=时,f(x)有最大值.


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